lunes, 29 de septiembre de 2008

PLAN DE LAS PRACTICAS

INSTITUTO SUPERIOR DEL PROFESORADO LABORDE.






PLAN DE UNIDAD: LOGARITMACION.


ASIGNATURA: MATEMATICA.



CURSO: 4º AÑO DEL CICLO DE ESPECIALIZACION.



ESTABLECIMINTO: INSTITUTO EVA GENTIL FAUS DE
PINTO.



DOCENTE DE LA PRÁCTICA: ALEJANDRA CONIGLIO.



DOCENTE DE LA ASIGNATURA: CARINA ASCOLANI.



PRACTICANTE: ROMERO LUCAS MARIANO




EXPECTATIVAS DE LOGRO

Analizar la importancia de la matemática en la vida cotidiana.
Conocer el surgimiento de la logaritmación desde sus inicios.
Utilizar lenguaje matemático adecuado en el desarrollo de las actividades propuestas.
Resolver situaciones matemáticas a través del uso de calculadoras científicas.
Comprender la definición de logaritmación para la resolución de actividades.
Desarrollar habilidades para poder diferenciar las distintas propiedades de la los logaritmos.
Utilizar la calculadora científica en las resoluciones de actividades.


FUNDAMENTACION

A partir de las exigencias que depara el contexto en el que nos desenvolvemos es cada ves más compleja la necesidad de que el hombre adquiera conocimiento más amplios.
Así se harán aportes significativos a la formación de los alumnos tanto para su desempeño consciente, critico y creativo, como también para su desempeño en el ámbito de los estudios superiores y en el mundo del trabajo.
Podrán profundizar los contenidos que aprendieron durante años anteriores, emplearan más símbolos, notaciones distintas y reconocerán la importancia de justificar, demostrar y verificar para poder alcanzar mejores niveles de abstracción de los modelos matemáticos.
El abordaje de esta temática tiene como objetivo buscar la comprensión de los conceptos y procedimientos, los cuales podrán ser aplicados a situaciones nuevas surgidas desde ámbitos aún ajenos a la matemática.

CONTENIDOS CONCEPTUALE

1. Logaritmación
1.1. Definición
1.2. Propiedades
1.3. Casos particulares
1.4. Logaritmo de un producto
1.5. Logaritmo de un cociente
1.6. Logaritmo de una potencia
1.7. Logaritmo de una raíz
1.8. Cambio de base
2. Uso de calculadora científica

CONTENIDOS PROCEDIMENTAL

§ Identificación de las partes de un logaritmo.
§ Aplicación de las propiedades de los logaritmos en la resolución de actividades.
§ Identificación de las distintas bases que puede adquirir un logaritmo.
§ Resolución de logaritmos de forma numérica y algebraica.
§ Utilización del uso de la calculadora científica.

CONTENIDOS ACTITUDINALES

§ Valoración de la matemática como construcción humana.
§ Predisposición en la adquisición de nuevos conocimientos.
§ Confianza en habilidades personales.
§ Respeto por las normas áulicas y opinión de sus pares en relación a las actividades propuestas.

ACTIVIDAD DE INICIO

Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición). Suponiendo que las condiciones del cultivo son tales que las amebas se duplican.

1 Calcule y complete el siguiente cuadro:

TIEMPO
0 hora
1 hora
2 hora
3 hora
4 hora
5 hora
Nº de amebas
1



2 ¿Cómo puede expresar estos valores hallados utilizando otra expresión?
3 ¿Cuál será el total de amebas al cabo de 6 horas?
4 ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que lleguen a ser 1024 amebas?

ACTIVIDAD DE DESARROLLO

Introducción:
La potenciación tiene dos operaciones inversas: una la radicación y la otra es la logaritmación en clases anteriores ya estudiaron tanto la potenciación como la radicación, en esta clase estudiaremos la LOGARITMACION.
LOGARITMO proviene del griego:
LOGOS: estilo, manera, relación, razón.
ARITHMOS: números.

Reseña histórica:
Los logaritmos fueron ideados como una herramienta para facilitar el uso de las potencias y raíces.
La idea de logaritmo fue madurando poco a poco en la historia, pero se considera que el personaje que los ideó fue John Neper en el siglo VII; quien fue el creador de las conocidas tablas logarítmicas, las cuales fueron suplantadas por el avance de la tecnología.
Como ya se anuncio que la logaritmación es una operación inversa de la potenciación, esta consiste en calcular el exponente conociendo la potencia y la base.
Si a y b son dos números reales positivos, siendo b ≠ 1, existe un único número x tal que:

exponente
base bx = a potencia
Este número x se llama logaritmo en base b del número a y se indica:
Log ba =x
Simbólicamente:
Argumento
Log ba =x Logaritmo bx = a

Base
Tener en cuenta que:
a 0 : a ( argumento) no puede ser igual a cero ya que el logaritmo de cero en cualquier base no existe.

Log b0 =
b > 0 : b (base) debe ser mayor que cero ya que el logaritmo de base cero no existe.
Log0a =
Por lo que se deduce lo siguiente:

b 0;b 1 la base de un logaritmo no puede ser igual a cero ni uno ya que no existe.

a R+: el argumento de un logaritmo siempre es un número real positivo por lo que se deduce que no existe el logaritmo con argumento negativo.
x R: el logaritmo x pertenece a cualquier número real.

Actividad Nº 1:
Completar aplicando la definición de logaritmo.


a) Log216= porque 2 =

b) Log5125= porque 5 =


c) Log232= porque 2 =


d) Log21/16= porque 2 =


e) Log31/27= porque 3 =


CASOS PARTICULARES DE LA LOGARITMACION.

Como ya estudiamos en clases anteriores que en la potenciación existen casos particulares como por ejemplo: que todo número elevado al exponente cero es uno; en los logaritmos también existen casos particulares que veremos a continuación.

1. El logaritmo de uno en cualquier base es cero.

Log b1 = 0 ya que b0 = 1

2. El logaritmo de la base es 1

Log bb = 1 ya que b = b

3. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que uno (01), es un número negativo, siempre y cuando la base del logaritmo sea mayor que 1 (b>1).
Ejemplo:
Log31/9= 2 porque 3-2 = 1/9

4. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que uno (01), es un número negativo, siempre y cuando la base del logaritmo sea menor que 1 (b<1). 9=" 2" 2 =" 1/9">1 es positivo si la b>1.
Ejemplo:
Log39= 2

6. El logaritmo de número N>1 es negativo si la b<1. 525=" -2">1

Log1/41/64



3 (1/4)3=1/64
Log1/31




Log31/27
Negativo



Log1/232





A continuación analizaremos las propiedades de la logaritmacion.

a) Resuelve el siguiente logaritmo:

Log2-4=…… porque 2 = -4

Si se observa el logaritmo anterior no tiene solución, es por eso que la logaritmacion NO ES CERRADA EN LOS REALES, por lo que se deduce que el argumento de un logaritmo nunca puede ser un número negativo.

b) Si tenemos dos números cualesquiera a y c iguales al aplicarle logaritmo a ambos números ¿ Se mantiene la igualdad?

a = c Log ba = Log bc

Con esto se deduce que si a una igualdad se le aplica una operación cualesquiera a ambos miembros se sigue conservando la igualdad, con lo que se dice que la logaritmacion cumple con la LEY UNIFORME.

c) Siguiendo con el ejemplo anterior, si aplicándole una operación cualesquiera a ambos miembros de una igualdad no la alteramos, tampoco se alterará si cancelamos términos iguales, por lo que es lo mismo decir que la logaritmación cumple con la LEY CANCELATIVA.

a = c Log ba = Log bc a = c

d) Resolver las siguientes igualdades


Log2(4*2) = Log24 * Log22 Log2(4*2) = Log24 + Log22

Log28 = 2 * 1 Log28 = 2 + 1

3 2 3 = 3

Si se observa se puede ver que la logaritmación no es distributiva con respecto a la multiplicación ya que no se llega a la misma igualdad; pero si observamos en la segunda resolución podemos darnos cuenta que la igualdad se mantiene, es por eso que el logaritmo de u producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Simbólicamente: Logb(r * s) = Logbr + Logbs

e) Por ser la división o cociente la operación inversa de la multiplicación o producto y habiendo analizado que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores ¿A que va a ser igual el logaritmo de un cociente de dos números?
Comprueba la respuesta con un caso practico:

Log2(16/4) =

Con esto llegamos a determinar que el logaritmo de un cociente de dos números es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y el divisor.
Simbólicamente: Logb(r/s) = Logbr - Logbs

f) Resolver con los conocimientos adquiridos:

log 284 =

Teniendo en cuenta que el logaritmo de 8 en base 2, es 3, o sea: log 28 = 3. Se puede observar que 12, que es el resultado que se obtuvo, no es más que multiplicar el exponente 4 por el logaritmo 3 que se obtiene de la base de la potencia.
Es decir: log 284 = 4 * log 28
Esta propiedad del logaritmo de una potencia se enuncia de la siguiente forma:
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia.
Simbólicamente: logban = n * logba
g) Por consiguiente a la observación anterior y sabiendo que la radicación es una operación inversa a la potenciación. Enunciar a que será igual el logaritmo de una raíz, a partir del siguiente ejercicio:

log5 =

El logaritmo de una raíz de radicando positivo es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice.

Simbólicamente: logb = logba / n

ACTIVIDAD Nº 3
Resuelve aplicando propiedades:

1) Log3 (1/3*9*1/27)=
2) Log2 4 – log2 2=
3) Log4 (64 / ¼)=
4) Log3 =

Sabiendo que log3 10 2, 1 y el log3 2 0,63. calcula aplicando las propiedades de los siguientes logaritmos. Sin utilizar calculadora científica.

1) Log3 20 =
2) Log3 5=
3) Log3 4=
4) Log3 6 =
5) Log3 1000=
6) Log3 2,5=

Seguimos aplicando propiedades: sabiendo que logax = 4,2 y el logay = 2,1

1) Loga (x * y)=
2) Loga y3=
3) Loga x2 * =
4) Loga x/y=
5) Loga =0

Si observamos en la calculadora científica, podemos ver una tecla dice: log, esto indica un logaritmo de base 10, al cual se denomina Logaritmo Decimal log10x = log x. Cuando se trabaja con el logaritmo decimal no es necesario indicar la base, ya que queda por entendido que hace referencia a este cuando no se lo indica.
Otro logaritmo que se utiliza con frecuencia es el Logaritmo Natural o Neperiano, si observamos la calculadora lo encontramos en la tecla indicada de la siguiente manera: ln. Estos logaritmos tienen como base un número especial e, que es un número Irracional cuyo valor es aproximadamente 2,71828…..

ACTIVIDAD N° 4
Utilizando la calculadora científica, halla el resultado de los siguientes logaritmos.

a) Log 3,15=
b) Log 0,03=
c) Ln 0,034=
d) Ln(Ln5)=
e) Ln(log )=
f) =

Supongamos que queremos averiguar el log3243 utilizando la calculadora científica.
Podemos proceder así: según la definición de logaritmo.
Log3243= x 3x= 243
Aplicamos logaritmo a ambos miembros:
Log 3x= Log 243
Aplicamos el logaritmo de una potencia:
x * Log3= Log 243
Despejamos la x:
x =
Pero x = log3243, entonces nos queda conformado lo siguiente:
Log3243=
Este procedimiento se llama Cambio de Base y nos permite cambiar la base de un logaritmo por otra mas conveniente (en este caso elegimos base 10). Si denominamos w a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente formula.

Logba= logwa/logwb
Las bases con las cuales se trabajara serán base 10 y base e.

ACTIVIDAD N° 5
Aplicando cambio de base y las propiedades correspondientes, sabiendo que el log 2 0,3. Calcula la siguiente ejercitación.

a) Log210=
b) Log 5=
c) Log52=
d) Log1/220=
e) Log51/4=
f) Log1/532=
g) Log825=
h) Log40,1=










ESTRATEGIAS METODOLOGICAS.

§ Introducción de reseña histórica por parte del docente del contenido de la unidad a desarrollar.
§ Presentación de actividad de inicio relacionada al tema a desarrollar.
§ Exposición del contenido.
§ Interrogación.
§ Demostración.

RECURSOS DIDACTICOS.

§ Pizarrón, tiza y borrador.
§ Fotocopias.
§ Afiches
§ Calculadora científica.

TIEMPO ESTIPULADO.

20 horas cátedras de 40 minutos cada una (800 minutos).

EVALUACION.

Se realizará de la siguiente manera:
§ Evaluación diagnostica, al comienzo de la unidad con el objetivo de identificar los conocimientos previos que poseen los alumnos. Esto servira de base para el desarrollo de los contenidos y de las actividades.
§ Evaluación formativa, se realizará durante todo el dictado de la unidad para poder comprobar si las estrategias utilizadas hasta el momento han contribuido al aprendizaje de los alumnos.
§ Evaluación final, se ejecutara a través de una prueba escrita al final de la unidad para conocer el nivel alcanzado por los alumnos y comprobar si se lograron los objetivos. Cuyas notas se promediara con lo actitudinal y procedimental.

CRITERIOS DE EVALUACION.

§ Participación activa durante la clase.
§ Interpretación y resolucion de las consignas establecidas.
§ Respeto y responsabilidad del alumno durante las horas de clases.
§ Participación responsable durante el trabajo en grupo.

BIBLIOGRAFIA.

§ Barone L. Alberto; Enciclopedia General Básica Temática Ilustrada; Editorial Grupo Clasa, 2001.
§ De Simone Irene, Turner Margarita; Matemática 4 (Guías teóricas- practicas); Editorial A-Z; 1995.
§ Fesquet Hilda, Linskens Marcela, Repetto Celina; Algebra y Geometría 1; Editorial Kapeluz; 1967.


ANEXO.


GUIA TEORICA-PRÁCTICA DE LOGARIMACION.


ACTIVIDAD Nº 1

Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición). Suponiendo que las condiciones del cultivo son tales que las amebas se duplican.

1 Calcule y complete el siguiente cuadro:

TIEMPO
0 hora
1 hora
2 hora
3 hora
4 hora
5 hora
Nº de amebas
1






2 ¿Cómo puede expresar estos valores hallados utilizando otra expresión?

3 ¿Cuál será el total de amebas al cabo de 6 horas?

4 ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que lleguen a ser 1024 amebas?

DESARROLLO DE LA UNIDAD
Lee atentamente y completa:

La potenciación tiene dos operaciones inversas: una es la ……………………… y la otra es ………………………….que estudiaremos a continuación.
En la siguiente expresión: bx = a, se puede calcular cualquiera de estas tres cantidades si se conocen dos de ellas:

RADICACION
LOGARITMACION
Se calcula…………… de la potenciación.


= porque……………….


Se calcula……………………… de la potencia, conociendo la potencia y la base.

Log = porque……….......

Definición: Se llama LOGARITMO en base b de un número a a otro número c, tal que b elevado a c sea igual a a.
Se lee: “el logaritmo en base b de a es igual a c”

ACTIVIDAD Nº 2

Resuelve aplicando potenciación; estableciendo relación con la logaritmacion:

a) Log216= porque 2……=…………………..
b) Log5125= porque 5……=…………………..
c) Log232= porque 2……=…………………..
d) Log1/24= porque 1/2……=…………………..
e) Log3 = porque 3……=…………………..
f) Log5 = porque 5……=…………………..

CASOS PARTICULARES DE LA LOGARITMACION.


Resuelve siguiendo el procedimiento anteriormente aplicado:
1.
a) Log251=…….

b) Log1/41=…….

c) Log71=…….
Completa:

El logaritmo de uno en cualquier base es………………., ya que:

Log251=…… porque 25…… =………

Logb1=……. b…..=……..


2.
a) Log33=…….

b) Log1/91/9=……

c) Log0,0010,001=…….
Completa:

El logaritmo de la base es……………., ya que:

Log33=……. porque 3…… =………


Logbb=……. b…..=……..

3. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que uno (01).
Comprobar la afirmación dada con un ejemplo:


Logb>101 es positivo si la base es mayor que uno b>1.
Comprobar con un ejemplo:
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..


6. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es menor que uno b<1.>1

Log1/41/64



3 (1/4)3=1/64
Log1/31




Log31/27
Negativo



Log1/232






PROPIEDADES DE LA LOGARITMACION.

1. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) Log3 (-9)=………………………………………………………………..

b) Log2 (-16)=………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….

a) Log30=……………………………………………………………………..

b) Log40=……………………………………………………………………..

..........................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………….

a) Log13=………………………………………………………………………….

b) Log17=………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..

2. Resuelve y une con flecha la repuesta correcta.

a) Log2 (4*2)= b) Log2 (4/2)=


Log24 * Log22 Log24 – Log22
2 * 1 2 - 1
2 1

Log24 / Log22 Log24 + Log22
2 / 1 2 + 1
1 1
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Resolver:

a) Log2 84=
b) Log2 =
c) Log443=
d) Log5 =
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………





ACTIVIDAD Nº 4:

Resuelve aplicando propiedades. En cada caso indicar la propiedad utilizada.


a) Log3(1/3 * 9 * 1/27)=

b) Log24 – Log22=

c) Log4(64 / 1/4)=

d) Log3 =

e) Log2 =

f) Log243=

g) Log1/5(1/25 / 1/25)=

h) Log3815=

i) Log3(1/27)2=


LOGARITMOS DECIMALES Y NATURALES.

Se llaman LOGARITMOS DECIMALES O DE BRIGGS, a los logaritmos de base 10. Su notación es:
Log10a = Log a
Por ejemplo para indicar el logaritmo de 2, se escribe: Log 2, ya que si ni se indica la base expresa que es de base 10.

Otro logaritmo que se usa con frecuencia es el LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO, cuya base es “e”, donde “e” es el número irracional cuyas primeras cifras son: 2,71828…. y se indica:
Logea = Ln a
Así para indicar el logaritmo natural de 2, se escribe: Ln 2.

Si observamos en una calculadora científica podemos encontrar estos dos logaritmos:

Log ………………… Ln ……………………….


ACTIVIDAD Nº 5
Utilizando la calculadora científica, halla el resultado de los siguientes logaritmos:

a) Log 3,15=…………..

b) Log 0,03=………….

c) Ln 0,034=…………….

d) Ln (Ln 5)=……………

e) Ln (Log )=…………….

f) Log 1/2=…………..


Te desafío a averiguar el Log3243 utilizando la calculadora: ¿Se podrá?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Indica la formula que tenemos que utilizar para cuando se quiere calcular cualquier logaritmo con la ayuda de la calculadora.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ACTIVIDAD Nº 6
Utilizando la calculadora científica resuelve los siguientes ejercicios:

a) Log210=………………..

b) Log5 =……………....

c) Ln1/532=………………..

d) Ln40,1=………………..

e) Log825=………………




GUIA PRÁCTICA


ACTIVIDAD Nº 1

Con lo estudiado en clases anteriores, lee y completa el crucigrama.

1) Operación inversa a la potenciación.
2) Parte de un logaritmo que no puede ser igual a cero.
3) Resultado de los logaritmos cuyo 01
4) Nombre que se le asigna a la base de un logaritmo cundo no es necesaria indicarla.
5) Propiedad que es igual al logaritmo del radicando dividido el índice.
6) Resultado de los logaritmos cuyo N>1, cuando la b>1.
7) Propiedad que se obtiene de sumar los logaritmos de los factores.
8) Propiedad en la cual se utiliza la misma base.
9) Parte de un logaritmo que no puede ser igual a cero ni a uno.
10) Operación que se resuelve por medio de la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el divisor.
11) Propiedad que cumple la logaritmación en la cual se sigue conservando l igualdad.
12) Propiedad que se obtiene multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.
13) Representación simbólica de los logaritmos que tienen como base el número “e”.

L

O

G

A

R

I

T

M

A

C

I

O

N



ACTIVIDAD Nº 2




Calcula los siguientes logaritmos y justifica.

1) Log93=
2) Log32432=
3) Log1/161/4=
4) Log1/24=
5) Log1/749=
6) Log3 =
7) Log 6 36=
8) Log251/5=
9) Log4/39/16=
10) Log3 =

Resuelve aplicando propiedades e indica en cada caso cuales fueron utilizadas.

1) Log 1/100=
2) Log1/7 =
3) 2 * Log(12/6)=
4) Log2( * 2565)=
5) Log7( * )=
6) Log3(1/274)=
7) Log749 + Log7343 + Log71=

Sabiendo que el Log 2 0,3 calcula:

1) Log210=
2) Log52=
3) Log51/4=
4) Log825=
5) Log25=
6) Log1/220=
7) Log40,1=

Aplicando las propiedades de los logaritmos expresa mediante un solo logaritmo.

1) 3 Log 5 + 1/2 Log 9 – 3 Log3 – Log 25=
2) 2 Logb3 + 3 Logb2=
3) 1/2 Logab – 5 Logbc=
4) 3/4 logba – 2/3 Logbc – 3/4 Logbd + 2/3 Logbe=





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